The Beauties Of Binomials Dokumentation der mathematischen Grundlagen und der Programm-Entwicklung Wem das Bild links wie Ausschnitt aus dem bekannten Mandelbrot'schen Apfelmann oder aus der sogenannten Julia-Menge handelt, befindet sich auf dem Holzweg. Das Ergebnis mag ja recht „hnlich aussehen, aber die Grundlagen sind v”llig anders. Ich bin mir selbst noch nicht ganz im Klaren, was ich da eigentlich entdeckt habe, um so erstaunlicher ist das Ergebnis. Ich bin allerdings hart an der Grenzen der bis heute erforschten Mathematik, ich weiž nicht, von welcher Seite aus. Gleich vorneweg: Diese Dokumentation ist gespickt mit mathema- tischen Formeln und Erl„uterungen. Sollten mir (wie ich vermute) grobe Schnitzer unterlaufen, mag man mich gern eines besseren Belehren. Ich hoffe jedoch, daž zumindest das von mir erdachte Funktions-Prinzip halbwegs einleuchtet, selbst wenn man weder Mathe-Leistungskurs-Teilnehmer der Jahrgangsstufe 13 oder Mathe- matik-Lehrer ist. Wie der Titel dieser Dokumentation schon vermuten l„žt handelt es sich hier nicht um Fraktale, sondern um Binomiale, wie ich sie kurzerhand genannt habe. Gemeinsam haben beide, daž die Grundlage fr die entstehenden Grafiken rein mathematischer Natur sind. Bei den allen bekannten Fraktalen handelt es sich aber im Normalfall um komplizierte Berechnungen mit komplexen Zahlen, die ein normaler Mensch ohne Mathematik-Studium sowieso nie in seinem Leben verstehen wird. Aužerdem ist allen fraktalen Grafiken ein Prinzip der Selbst„hnlichkeit gemeinsam, denn auch bei gr”žten Vergr”žerungsstufen erscheint immer wieder das "Urbild", bei der Mandelbrot-Menge eben der sogenannte "Apfelmann". Dieses Prinzip fehlt bei meinen Binomialen, doch interessante Grafiken lassen trotzdem nicht lange auf sich warten. Der Name "Binomial" ist sozusagen die Kurzform von "Binomial- Verteilung". Sie entspringt der Wahrscheinlichkeits-Rechnung, die Ihre Nase in alle m”glichen Dinge hineinsteckt. Ein Beispiel: Auf dem Jahrmarkt gibt es eine Schiežbude, in der es Rosen zu schiežen gibt. Dazu wird eine einzige Rose aufgestellt, die abgeschossen werden soll. Aus einer Gruppe von acht Personen, von denen alle gleich sicher treffen k”nnen, schiežen alle der Reihe nach. Jeder trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 Prozent. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden genau 6 Rosen geschossen? Ein solches Problem ist ohne weiteres nicht berschaubar, mit einer mathematischen Formel (der Binomial-Verteilung, wer h„tte das gedacht) aber leicht l”sbar ist. Tragen wir die Fakten noch einmal zusammen: n = 8 Personen p = 0.6 (=60 Prozent Trefferwahrscheinlichkeit) k = 6 gewnschte Treffer Die Binomial-Verteilung ist im Grunde genommen eine Funktion mit drei abh„ngigen Variablen, n„mlich n k n-k B(n;p;k)=( )*p *(1-p) k Ein Einsetzen in diese Formel offenbart: B(8;0.6;6)=0.209 Das heižt, mit knapp 21 Prozent Wahrscheinlichkeit werden exakt 6 Rosen geschossen. Erl„utern wir die B-Formel schrittweise: n ( ) k wird gelesen "n ber k" oder "k aus n". Dieser Faktor gibt an, wie viele M”glichkeiten ein Zufalls-Experiment hat. Zum Beispiel bei Lotto: "6 aus 49" heižt, 6 Kugeln aus 49 verschiedenen werden gezogen. Es gibt eine ganze Menge verschiedene Kombinationen, die gezogen werden k”nnen, wie jeder weiž. Genau sind es: 49 ( ) = 13 983 816, also 13 Mio. 983 Tausend 816. 6 Die Wahrscheinlichkeit, daž man bei Lotto-Spielen also "6 Richtige" hat, ist 1 -------- = 0.000000071, also in 0.0000071 Prozent der F„lle 13983816 gewinnt man. Wie ist dieser Faktor nun aufgebaut: n n! ( ) = ----------- k k!*(n-k!) Das "!" bedeutet soviel wie "Fakult„t aus der vorhergehenden Zahl", was wiederum bedeutet: x! = 1 * 2 * 3 * ... * x x! ist nur definiert fr ganze Zahlen gr”žer oder gleich 0. Fr "0!" ist "1" definiert. Ein paar Beispiele: 0! = 1 1! = 1 2! = 1 * 2 = 2 3! = 1 * 2 * 3 = 6 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 usw. Bei unseren 8 Schtzen ergibt dieser erste Faktor also 8 8! 40320 40320 40320 ( )=---------=--------=--------=-------=28 6 6!*(8-6)! 720*2! 720*2 1440 Es gibt also 28 verschiedene Kombinationen von 6 Personen aus 8 m”glichen, wenn diese sechs treffen, die anderen 2 aber nicht. Die zweite H„lfte der B-Formel soll als Ganzes behandelt werden: k n-k p *(1-p) Dies ist die Wahrscheinlichkeit, daž einer der oben erw„hnten 28 F„lle eintritt: "p" ist ja die Wahrscheinlichkeit, daž ein Schuž trifft (60 %), und das soll "k" mal geschehen (6 mal). Dies berechnet man mit "p hoch k". "1-p" ist die sogenannte Gegenwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, daž ein Schuž nicht trifft, n„mlich 40 Prozent, und dies muž noch "n-k" mal geschehen (8-6=2), also 2 mal, damit alle 8 Personen geschossen haben. Also: (1-p) hoch (n- k). In unserem Falle w„re also: k n-k 6 2 p *(1-p) =0.6 *0.4 =0.046656*0.16=0.00746496 Mit 0.7 Prozent Wahrscheinlichkeit treffen also ganz bestimmte 6 von den 8 Leuten. Dafr gibt es aber (s. o.) 28 verschiedene Kombinationen, das macht insgesamt 28 * 0.00746496 = 0.20901888, also 21 Prozent. Ich hoffe, an dem Beispiel ist so einiges ber die B-Funktion deutlich geworden. Wer's nicht ganz verstanden hat, braucht das auch nicht unbedingt, es gengt zu wissen, daž die Formel drei unabh„ngige Variablen hat und daž man mit ihr bestimmte Wahrscheinlichkeiten ausrechnen kann. Keine Panik, jetzt wird's noch ein bižchen schwieriger ... Nochmal die Formel: n k n-k n! k n-k B(n;p;k) = ( )* p * (1-p) = ----------- * p *(1-p) k k! * (n-k)! "n" und "k" mssen ganze Zahlen sein, die gr”žer oder gleich 0 sind, und "n" muž gr”žer oder gleich "k" sein. Zuallererst machen wir uns das mal an unserem Beispiel klar: "n" ist die Anzahl der schieženden Personen, "k" der treffenden. Daž diese Zahlen weder Nachkommastellen haben k”nnen noch kleiner als 0 sein drfen ist eindeutig. Daž "n" gr”žer oder gleich "k" ist, ist auch klar: 10 Treffer bei 8 Schssen ist rein praktisch nicht m”glich, jedenfalls nicht wenn wir annehmen, daž jeweils eine einzige Rose zum Schuž freigegeben wird. Auch rein mathematisch l„žt sich dies kl„ren: "x!" ist nur definiert fr "x" gr”žer oder gleich 0 und ganze Zahlen sind. Da von "n" und "k" die Fakult„ten berechnet werden, ist diese erste Bedingung schon mal klar. Aužerdem wird auch noch aus "n-k" die Fakult„t berechnet. Damit dies nicht kleiner 0 wird, muž "n" zwangsl„ufig gr”žer oder gleich "k" sein, damit die Berechnung erfolgen kann. Wrden keinerlei Fakult„ts-Berechnungen vorkommen, w„re es egal, wie "n" und "k" auss„hen, Potenzen kann man sowohl von reellen (nicht-ganzen) Zahlen als auch von negativen Zahlen berechnet werden. Soviel zu den historischen Grundregeln der Mathematik. Wie bereits erw„hnt rttele ich ja an den mathematischen Grundfesten, was ich mir vielleicht nicht herausnehmen sollte, doch in diesem unseren Lande herrscht bekanntlich Gedankenfreiheit. Kommen wir zur Geschichte meines Programms "The Beauties Of Binomials": Eines Samstag morgens (am Tag zuvor hatte ich eine 6-stndige Klausur ber Binomial-Verteilungen geschrieben) wachte ich mit der wahnwitzigen Idee auf, Binomial-Verteilungen irgendwie grafisch darstellen zu wollen. Im Normalfall legt man "n" und "p" irgendwie fest und variiert "k" von 0 bis "n". Mit der Funktion B(n=const.,p=const.,k) = Y erh„lt man dann eine Wertetabelle von "Y" in Abh„ngigkeit von "k". Tr„gt man diese in ein Koordinaten-Gitter ein, ergibt sich nun endlich eine Binomial-Verteilung in Form einer glocken„hnli- chen Kurve, die nach links und rechts abflacht und irgendwo in der Mitte ein Maximum hat, abh„ngig von "n" und "p". Eine solche Darstellung war mir im Grunde genommen aber viel zu billig als daž ich damit jemals meinen Computer gequ„lt h„tte. Statt nur eine der drei Variablen zu variieren ver„nderte ich zwei: "p" blieb konstant w„hrend "k" und "n" (streng im Rahmen der Regeln natrlich) variierte. Aus der Funktion B(n,p=const.,k) = Y bekam ich nun eine zweidimensionale Wertetabelle von "Y" anh„ngig von "n" und "k". Die Werte waren allesamt kleiner als eins, es handelte sich ja schliežlich um irgendwelche fiktiven Wahrscheinlichkeiten die (per definitionem) zwischen 0 und 1 liegen mssen. Durch die Einschr„nkung auf ganze Zahlen ergab sich aber immer nur eine handvoll Zahlen, die im ersten Moment gar nichts aussagten, geschweige denn sich eindrucksvoll darstellen liežen. Mit h„ngenden Schultern schlich ich an den Computer, der mir (wie schon so oft) mal wieder berhaupt nicht helfen konnte. Bei Betrachtung der B-Formel n! k n-k B(n;p;k) = ----------- * p *(1-p) k! * (n-k)! stellte ich fest, daž dieser "Werte-Notstand" nur darin begrndet lag, daž die Fakult„ts-Funktion einen so eingeschr„nkten Definitionsbereich hat. W„ren negative Zahlen erlaubt, so k”nnte "k" auch gr”žer als "n" werden, denn dies war ja nur verboten, um "(n-k)!" definiert zu halten. Kurzerhand begann ich zu experimentieren: Die neue B-Formel enthielt einen ganzen Sack voll Betrags-Striche: |n|! k n-k B(n;p;k) = --------------- * p *(1-p) |k|! * |(n-k)|! was bedeutet, daž von negativen Zahlen das voranstehende "-" abgeschnitten wird, also bei der nun folgenden Berechnung nur positive Werte erschienen. Dies gengte mir aber immer noch nicht: Der gesamte reelle Zahlenbereich (also alle Zahlen mit Nachkomma-Stellen) waren mir immer noch versagt, sowohl die positiven als auch die negativen. In einem solchen Fall ist das erste, was man versucht, die Zahlen w„hrend der Berechnung einfach zu runden. Die passiert in der Mathematik durch eckige Klammern "[" und "]". Die somit weiter modifizierte Fassung der B-Formel lautete: [|n|]! k n-k B(n;p;k) = ------------------- * p *(1-p) [|k|]! * [|(n-k)|]! Das sieht jetzt komplizierter aus, als es eigentlich ist. Jedenfalls bekam ich nun eine Flle von Zahlen zwischen 0 und 1 auf den Computer. Das nun zutage tretende Problem war eine angemessene Darstellungsart. Dabei orientierte ich mich an den Darstellungen der Apfelm„nnchen-Programme, bei denen auch auf jedem Bildschirm-Punkt eine Zahl dargestellt wird: Um eine Unterscheidung zwischen schwarz und weiž (im Falle eines Monochrom-Monitors) zu produzieren schaut man einfach nach, ob die betreffende Zahl gerade oder ungerade ist. Je nachdem setzt man eben einen schwarzen oder einen weižen Punkt. Leider sind reelle Zahlen zwischen 0 und 1 so einfach nicht auswertbar, aus diesem Grunde nahm ich das Ergebnis der B-Formel mit einem konstanten Wert mal, gnstigenfalls mit einer Zehnerpotenz, also mit 10=10^1, 100=10^2, 1000=10^3 usw., womit der Nachkomma- Bereich stellenweise vor das Komma geschoben wird. Das gerundete Ergebnis ist also entweder gerade oder ungerade. Dies kann man gut herausbekommen, wenn man das Ergebnis durch zwei teilt und den auftretenden Rest betrachtet. Ist dieser 1, war die Zahl ungerade, ist er 0, war sie gerade. Daraus ergibt sich die Formel x c = [(B(n,p=const.,k) * 10 )] MOD 2 Wobei "x" den Grad der Zehnerpotenz darstellt und c entweder 1 (fr weiž) oder 0 (fr schwarz) bedeutet. Denkt man logisch nach wird klar, daž man mit diesem Ansatz die "x"-te Stelle hinter dem Komma auf Geradheit prft. Fr meine ersten Experimente w„hlte ich 5 als "x", also die fnfte Nachkommastelle. Ich glaube eigentlich auf Chaos zu stožen, ein undefinierbares Muster aus schwarzen und weižen Punkten also, vor allem angesichts der fnften Nachkommastelle. In horizontaler Richtung variierte ich den Wert fr "k", in vertikaler Richtung den Wert fr "n". Die Wahrscheinlichkeit blieb (wie schon er„hnt) konstant. Ich begann mit 0.5 als Wahrscheinlichkeit, also einem ausgewogenen Verh„ltnis zwischen Eintreten und Nicht-Eintreten des gewnschten Ereignisses. Nach einer mittleren Berechnungszeit erschien auf dem Computer-Monitor ein reichlich unregelm„žiges Barcode-Muster, das von horizontalen, vertikalen und diagonalen Linien durchzogen war. Daž dies vom Runden bei der Fakult„ts-Berechnung von "n", "k" und "n-k" herrhrte, war mir in diesem Augenblick noch nicht klar, ich wužte nicht, was es war. Bei Benutzung einer anderen Wahrscheinlichkeit ergaben sich diese Linien natrlich wieder, aber bei 0.1 als "p"-Wert, den ich von nun an weiter benutzte, ergab sich zun„chst das von mir erwartete schwarz-weiže Chaos. Ich war kurz davor, die Berechnungen abzubrechen und meine Arbeitsdiskette zu formatieren als sich auf dem Bildschirm pl”tzlich regelm„žige Strukturen aufbauten - Kreise und B”gen, die nichts mit den Rundungs-Fehlern zu tun haben konnten: Ich sah zum ersten Mal die zweidimensionalen geometrischen Strukturen der Binomial-Verteilung, wenn auch verzerrt. Ich hatte Blut geleckt und begann weiter nach solchen Figuren zu suchen. Nachdem ich ein paar Ausdrucke in H„nden hielt fiel es mir ein, daž die Kanten in den Bildern nur von den Rundungen bei der Fakult„ts-Berechnung herrhren konnten. Mit einfachem Runden war es also nicht getan. Es mužte also eine Definition der Fakult„t her, die auch fr reelle Zahlen pažte. Eine einfache L”sung existiert meineswissens fr dieses Problem nicht. Zeichnet man die Punkte der Fakult„ts-Funktion in ein Koordinatengitter ein, so drfte es von Hand nicht allzu schwer fallen, eine ausgleichende Kurve durch sie zu zeichnen. Diese Kurve aber mathematisch exakt zu berechnen ist aufgrund der Definition der Fakult„t alles andere als einfach. Ich entschied mich fr eine lineare Verbindung der Punkte der Kurve, fr genau das also, was man in Mathematik und Physik grunds„tzlich abgew”hnt bekommt, aber der Vorteil an dieser Methode ist die einfache Umschreibung und die recht flinke Berechnung, was ja auf fr das Zeichnen von Grafiken auch nicht aužer Acht gelassen werden sollte. Die neue Fakult„ts-Funktion werde ich (zur Verdeutlichung) nicht mehr mit "x!" bezeichnen, sondern mit "x?". Beginnen wir nocheinmal mit der Definition der alten Fakult„ts-Funktion, die wir fr die neue Definition ben”tigen werden: x! = { 1 * 2 * ... * [x] fr [x]>1 { 1 fr [x]=0 oder [x]=1 Damit erhalten wir fr alle ganzen Zahlen (sowohl gr”žer als auch kleiner als 0) eine angemessene Definition. Reden wir zur Vereonfachung im Folgenden ber positive Zahlen. Bei Ver„nderung von x von x zu (x+1) (also um den Wert 1 nach oben) ver„ndert sich auch x!, n„mlich von x! zu (x-1)!, was also (x+1)!+x! als Ver„nderung ausmacht. Das heižt, zu x! muž noch ein gewisser Teil von (x+1)!-x! addiert werden, um x? nachzurcken. Daraus ergibt sich: x? = x! + ((x+1)!-x!)*b wobei b ein Wert zwischen 1 und 0 sein muž: 1 fhrt zu n„chsten Fakult„t, 0 bleibt bei der gerade berechneten. Es liegt auf der Hand, was fr b eingesetzt werden muž: N„mlich die Nachkommastellen von x: Sie liegen zwischen 1 und 0, genau wie wir verlangt hatten. Damit erg„be sich (wie gefordert) ein linearer Zusammenhang zwischen x und x? zwischen x! und (x+1)!. Somit mit verbesserten Waffen ausgerstet ging ich erneut auf die Suche. Vorbei war es mit h„žlichen Kanten in der Grafik. Diese lineare Ann„herung ist zwar frchterlich ungenau, aber wenigstens stetig, das heižt sie hat keine "L”cher" in ihrer Definition. Im Grunde genommen ver„nderte sich am Programm nicht mehr viel, aužer der Definition der negativen Fakult„ten. Als ich n„mlich Punkte in der n„chsten N„he der Koordinate (k=0;n=0) betrachtete, st”rte mich das spiegelbildliche weiterlaufen auf der jeweils negativen Zeite. Die L”sung (die ich fr die bestm”gliche halte) berkam mich durch pures Nachdenken: Auf positiver Seite l„uft x? immer schneller von 0 weg, also k”nnte theoretisch x? auf negativer Seite immer schneller auf 0 zulaufen. Die passiert einfach durch Kehrwertbildung, also 1 ------- fr x<0 |x|? Andererseits war x! fr x=0 und x=1 schon als 1 definiert (und damit auch fr alle Werte dazwischen, denn daran konnte meine Definition von x? nichts ausrichten. Damit war x? fr alle x zwischen -1 und 1 als 1 definiert. Die komplette Definition von x? auf R (der Menge aller reellen Zahlen) ist also folgendes: x! = { 1 * 2 * ... * x fr x>1 { 1 fr x=0 oder x=1 fr N0+ (also alle ganzen Zahlen gr”žer oder gleich 0) { fr x>1 => [x]! + (([x]+1)!-[x]!)*FRAC(x) x? = { fr -1>=x>=1 => 1 { 1 { fr x<-1 => ------ { |x|? fr R (also alle reellen, positiven und negativen Zahlen) Dies alles ist die Grundlage fr mein Programm "The Beauties Of Binomials", eine komplette Neudefinition der Fakult„ts-Funktion, die die alte Mathematik ziemlich auf den Kopf stellt. Die Linearit„t ist zwar nicht optimal, bringt doch aber sehr interessante Grafiken zustande. (šbrigens: mit FRAC(x) sind die Nachkomma-Stellen von x gemeint.) Am Ende kommen dann eben Grafiken heraus, wie die, die man auf der ersten Seite links oben sehen kann. Aber die Figuren sind vielf„ltig, ich entdecke t„glich neue Bilder. (C) Idee / Realisation / Dokumentation by Gero Zahn in 12/1990 Bergring 27, 4953 Petershagen, Tel.: 05707/2501